השמעתתא השמינית: בעיית מונטי הול

בעיית מונטי הול היא אחת הקשות ביהדות, ובכלל. צוד בדיחי עם חמש דרכים שאולי – רק אולי – ישכנעו אתכם למה התשובה הנכונה היא הנכונה

בעיית מונטי הול היא בעיה שמשום מה קשה לאנשים להבין. גם אנשים שאוהבים מתמטיקה, שמחזיקים מעצמם אינטילגנטים, אפילו אשכנזים, מסתבכים עם ההיגיון שלה. אנחנו פה כדי לעשות לכם סדר עם 5 דרכים שיעזרו לכם להבין את בעיית מונטי הול.

לאורך הכתבה משובצות תמונות של עזים ומכוניות, באדיבות: giphy.com

מי זה מונטי הול ולמה זה חשוב שהוא יהודי

אבל רגע, לפני, תזכורת קצרה למה בדיוק הבעיה:
מונטי הול זה השם האמריקאי של אברי גלעד. כלומר לא בדיוק, אבל שניהם הנחו תוכנית דומה בשם "עשינו עסק", ושניהם – איך לא – יהודים, אבל זה לא כל כך חשוב. בכל מקרה, בתוכנית היה קטע שבו המשתתף צריך לבחור בין שלושה וילונות שרק מאחורי אחד מהם יש פרס, ואז באו המתמטיקאים שאוהבים להתנשא, והמציאו מזה בעיה:

לפניך שלוש דלתות.
מאחורי שתי דלתות יש עז. מאחורי השלישית יש מכונית מרצדס.
אתה כמובן מעוניין במכונית ולא בעז, ואתה בוחר בדלת כלשהי. נניח א'.
מה שקורה עכשיו הוא שהמנחה הולך ופותח את אחת הדלתות שבהן לא בחרת (נקרא לה דלת ב'), ומראה לך שמאחוריה יש עז (לא משנה מה יש מאחורי הדלת שבה בחרת – תמיד תהיה לפחות עוד דלת אחת שמאחוריה יש עז).
עכשיו, המנחה שואל האם אתה רוצה להחליף את הבחירה שלך, ולבחור בדלת שנשארה סגורה (השם שלה כמובן יהיה: דלת ג') במקום בדלת א'.

בואו נכתוב שוב את השתלשלות העניינים באופן כרונולוגי:

  • בחרת בדלת א'
  • המנחה מראה שמאחורי דלת ב' יש עז
  • אתה יכול להחליף את הבחירה שלך מדלת א' לדלת ג'

ועכשיו השאלה: האם שווה לך להחליף את הבחירה, ולבחור בדלת ג' במקום בדלת א'?

התשובה האינטואיטיבית היא שאין סיבה. קודם בחרת 1 מתוך 3 דלתות, והסיכוי היה בערך 33%. עכשיו אתה בוחר לכאורה בין שתי דלתות, אז הסיכוי לכל אחת הוא 50% – גם לזו שבחרת מקודם וגם לזו שאולי תחליף אליה.

התשובה המתמטית היא שהסיכוי לזכייה בדלת ג' גבוה פי 2 מהסיכוי לזכייה בדלת א', כלומר: שווה להחליף.

מה? למה? איך?

ובכן, בואו ננסה להסביר את זה ב־5 דרכים שונות:

למה לא גם וגם? | תמונה: giphy.com

1| תבדקו בעצמכם

הנה לינק למשחק פשוט בסקראץ' שעושה בדיוק את זה. אתם יכולים לנסות בעצמכם ולראות שאם תחליפו דלת הסיכויים לזכייה גדלים. אלו ההוראות: לתחילת המשחק לוחצים על דגל, בוחרים דלת, המנחה פותח דלת אחרת שמאחוריה עז (במקרה הזה ספציפית קנטאור), אתם בוחרים אם להחליף או לא.

המלצה שלי: שחקו 10 פעמים עם החלפה ו־10 פעמים בלי החלפה, ותראו מה מנצח יותר.

2| טבלה

אנחנו עדיין בשלב הבדיקה העצמית, אבל עכשיו בואו נפרוס את כל האפשרויות בטבלה אחת. העמודות יציינו את מיקום המכונית, השורות ייצגו את בחירת השחקן:

  מכונית מאחורי דלת א' מכונית מאחורי דלת ב' מכונית מאחורי דלת ג'
השחקן בחר א' ההחלפה לא משתלמת ההחלפה משתלמת ההחלפה משתלמת
השחקן בחר ב' ההחלפה משתלמת ההחלפה לא משתלמת ההחלפה משתלמת
השחקן בחר ג' ההחלפה משתלמת ההחלפה משתלמת ההחלפה לא משתלמת

אם כן, בשלושה מקרים מתוך תשעה ההחלפה לא משתלמת ובשישה מתוך תשעה היא כן משתלמת, ככה שמדובר בדיוק בפי 2.

חבל שאין לך מכונית שאיתה תוכל לברוח, אה? | תמונה: giphy.com

3| "תמיד מקבלים את ההפך"

בואו נחשוב על זה רגע אחד. כאשר המנחה שואל אותי אם אני רוצה להחליף או לא, יש שתי דלתות סגורות. אחת עם מכונית ואחת עם עיזה פזיזה. כלומר, אם קיבלתי את המכונית, בדלת השנייה יש עז; אם קיבלתי את העז, בדלת השנייה יש מכונית. עכשיו תחזרו רגע לתחילת המשחק: כשאני בחרתי דלת מסוימת, ידעתי שב66% יש מאחוריה עז. זה לא השתנה, הרי לא החלפתי את הבחירה, ולכן אם אני הופך עכשיו את הבחירה, יש סיכוי של 66% שאני יוצא מהאולפן עם הרכב החדש שלי. שווה.

4| בואו נשחק בגדול

נניח שיש במשחק מאה דלתות. 99 עם עז, ואחת עם מכונית. בחרתם דלת כלשהי, נניח דלת מספר 42 (פרסום סמוי? ייתכן). עכשיו, מה הסיכוי שזו הדלת המנצחת? אחוז אחד בלבד. 99% שהמכונית נמצאת באחת הדלתות האחרות.
עכשיו בא המנחה היקר ומקל עליכם, הוא פותח 98 דלתות אחרות (כלומר לא את זו שבחרתם), ומראה לכם שכולן עם עיזים. רק דלת 62 נשארת סגורה משום מה, ודלת 42 שאותה בחרתם. איפה לדעתכם יש סיכוי גדול יותר למצוא את המכונית?
(חשוב לציין ש: א. המנחה יודע איפה המכונית, ככה שהפתיחה של הדלתות שלו לא אקראית. ב. הוא מחויב לפתוח את 98 דלתות העיזים).

"סוף סוף הוא פתח לנו את הדלת" | תמונה: giphy.com

5| חלוקה לקבוצות

אם אף אחד מהטיעונים עד עכשיו לא שכנע אתכם, בואו ננסה לחשוב על הבעיה בצורה טיפה שונה. אני מחלק את הדלתות לשתי קבוצות. בקבוצה אחת נמצאת הדלת שבחרתי (נקרא לה קבוצה 1), ובקבוצה השנייה שתי הדלתות שלא בחרתי (נקרא לה קבוצה 2).
בשלב הזה, יש לקבוצה 1 סיכוי של 33% להכיל את המכונית, ולקבוצה 2 סיכוי של 66% להכיל את המכונית*. אילו הייתי יכול לבחור את כל קבוצה 2 זה היה נהדר, אבל אני לא יכול, כי מותר לי לבחור רק דלת אחת, ובקבוצה 2 יש שתי דלתות.
בשלב הזה המנחה נחלץ לעזרתי, ואומר לי ככה: "בקבוצה 2 יש לפחות דלת אחת עם עז, נכון? אחלה. אני מבטל לך אותה. הנה דלת עם עז, תתעלם מקיומה". עכשיו אני יכול לבחור את קבוצה 2 כי היא מכילה רק דלת אחת (כלומר שתי דלתות, אבל המנחה ספיילר לי דלת לא רלוונטית אחת).
איכשהו, הטיעון הזה הוא היחיד ששכנע אותי. אולי כי אני ממש יכול לדמיין את אברי גלעד לוחש לי בוא אני אעזור לך. זה לא מאוד מתמטי, אבל וואלה ככה אני, מה אפשר לעשות. רוצים להתנשא עליי? בבקשה. תיהנו.

לסיום, מוזמנים לנסות את המשחק עם דלת אחת:

 

*(כן, זה 33 ושליש ו־66 ושני שליש, סבבה).